\chapter{2025年，杨-拉普拉斯公式（Young-Laplace Equation）的另外一种推导}
\author{李国斌}
\date{2025.08.30}
	
	\section{引言}
	杨-拉普拉斯公式（Young-Laplace Equation）是描述弯曲液面两侧存在压力差的著名公式，由托马斯·杨（Thomas Young, 1773–1829）和Pierre-Simon Laplace在19世纪初分别独立提出。该公式在毛细现象、泡沫、乳液等表面科学领域有着广泛的应用。本文将详细介绍该方程的李国斌推导方法。
	
	\section{杨-拉普拉斯公式物理模型}
	表面张力实质是球壳内质量对表面的引力，可以使用质量来计算，也可以使用电荷来计算。Young和Laplace推导是考虑的是SPH自旋模型，中心大粒子M对表面小粒子m的引力影响。李国斌采用了同样的模型。请按此进行推导。
	
	\section{压强定义}
		\begin{align}
		p &= \frac{F}{A}\\
		p &= \frac{GMm}{r1^2 4\pi r2^2}\\
		
	\end{align}
	
	
	\begin{equation}\label{eqpressure}
	p &= \frac{GMm}{r1^2 4\pi r2^2}
\end{equation}	
	
	\begin{equation}\label{eqpressure02}
	p &= \frac{GMm}{ 1/4/\pi 3 4\pi/3 r1^3 1/r1 3 4\pi/3 r2^3 1/r2}
\end{equation}	

	\begin{equation}\label{eqpressure}
	p &= \frac{G\rho_1\rho_2}{9/4/\pi 1/r1 1/r2}
\end{equation}	

对比Young-Laplace Equation，可见：

\begin{equation}\label{eqpressure}
	2\gamma &=\frac{G\rho_1\rho_2}{9/4/\pi 1/r1 }
\end{equation}	
	
	\section{曲面几何}
	考虑一个任意曲面，其两个主曲率半径分别为$R_1$和$R_2$。在曲面上取一个微小面元，其边长分别为$dl_1$和$dl_2$，对应的弧心角为$d\theta_1$和$d\theta_2$，满足：
	\begin{align}
		dl_1 &= R_1 d\theta_1 \\
		dl_2 &= R_2 d\theta_2
	\end{align}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% 绘制曲面上的微小面元
			\draw (0,0) to[out=10,in=170] (4,0) to[out=-10,in=30] (4.5,-1) to[out=-150,in=-30] (0.5,-1) to[out=150,in=-170] cycle;
			
			% 标注边长
			\draw[<->] (0.2,-0.1) -- (3.8,-0.1) node[midway,below] {$dl_1$};
			\draw[<->] (4.3,-0.5) -- (4.3,-0.9) node[midway,right] {$dl_2$};
			
			% 标注曲率半径
			\draw[red, dashed] (2,1) -- (2,0) node[midway,left] {$R_1$};
			\draw[blue, dashed] (5,-0.5) -- (4,-0.5) node[midway,above] {$R_2$};
			
			% 标注弧心角
			\draw[red] (2,0) arc (270:290:1) node at (1.8,-0.3) {$d\theta_1$};
			\draw[blue] (4,-0.5) arc (180:200:1) node at (3.7,-0.7) {$d\theta_2$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{曲面上的微小面元几何参数示意图}
	\end{figure}
	
	\section{表面张力分析}
	表面张力$\gamma$作用于面元的边界上。考虑$dl_2$边上的表面张力在垂直方向的分量：
	\begin{equation}
		dF_1 = 2 \gamma dl_2 \sin\left(\frac{d\theta_1}{2}\right) \approx \gamma dl_2 d\theta_1
	\end{equation}
	同理，$dl_1$边上的表面张力在垂直方向的分量为：
	\begin{equation}
		dF_2 = \gamma dl_1 d\theta_2
	\end{equation}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
			% 绘制面元和表面张力
			\draw (0,0) rectangle (3,2);
			
			% 标注表面张力
			\draw[->, thick] (0,1) -- (-0.5,1) node[left] {$\gamma$};
			\draw[->, thick] (3,1) -- (3.5,1) node[right] {$\gamma$};
			\draw[->, thick] (1.5,0) -- (1.5,-0.5) node[below] {$\gamma$};
			\draw[->, thick] (1.5,2) -- (1.5,2.5) node[above] {$\gamma$};
			
			% 标注边长
			\draw[<->] (3.2,0) -- (3.2,2) node[midway,right] {$dl_2$};
			\draw[<->] (0,2.2) -- (3,2.2) node[midway,above] {$dl_1$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{表面张力作用于微小面元边界示意图}
	\end{figure}
	
	\section{压力差分析}
	曲面两侧的压力差$\Delta P$作用于面元上产生的垂直方向合力为：
	\begin{equation}
		dF_p = \Delta P dl_1 dl_2
	\end{equation}
	
	\section{力学平衡}
	在垂直方向上，表面张力产生的合力与压力差产生的力相平衡：
	\begin{equation}
		dF_1 + dF_2 = dF_p
	\end{equation}
	代入各表达式：
	\begin{equation}
		\gamma dl_2 d\theta_1 + \gamma dl_1 d\theta_2 = \Delta P dl_1 dl_2
	\end{equation}
	利用几何关系$d\theta_1 = \frac{dl_1}{R_1}$，$d\theta_2 = \frac{dl_2}{R_2}$，可得：
	\begin{equation}
		\gamma dl_2 \frac{dl_1}{R_1} + \gamma dl_1 \frac{dl_2}{R_2} = \Delta P dl_1 dl_2
	\end{equation}
	两边同时除以$dl_1 dl_2$：
	\begin{equation}
		\gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \Delta P
	\end{equation}
	此即杨-拉普拉斯公式的一般形式。
	
	\section{特殊情形}
	对于球形曲面，$R_1 = R_2 = R$，公式简化为：
	\begin{equation}
		\Delta P = \frac{2\gamma}{R}
	\end{equation}
	对于柱形曲面，$R_1 = R$，$R_2 = \infty$，公式简化为：
	\begin{equation}
		\Delta P = \frac{\gamma}{R}
	\end{equation}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			% 球形曲面
			\draw (0,0) circle (1.5);
			\draw[dashed] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,above] {$R$};
			\node at (0,-2) {球形曲面};
			
			% 柱形曲面
			\begin{scope}[xshift=5cm]
				\draw (0,-1) to[out=30,in=-30] (0,1);
				\draw (2,-1) to[out=150,in=210] (2,1);
				\draw[dashed] (0,0) -- (2,0) node[midway,above] {$R$};
				\node at (1,-2) {柱形曲面};
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{特殊曲面的曲率半径示意图}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	通过分析弯曲液面上微小面元的受力平衡，我们推导出了杨-拉普拉斯公式。该公式表明，弯曲液面两侧的压力差与表面张力系数和曲率半径的几何平均值成正比。这一公式为理解各种毛细现象和表面效应提供了理论基础。
	